このシリーズでは、中高生の皆さんが勉強している数学の知識が、ビジネスの世界でどのように使われているかを紹介します。

数学って、将来必要なの？
と思っている皆さんにぜひ読んでほしいと思います。

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関数を使って状況を可視化する

皆さん、次の式は大丈夫ですね。

利益を最大化したい。誰しもがそう思います。では売上を伸ばしさえすればいいのでしょうか。そうはならないのが、ビジネスの難しいところです。なぜなら、コストの増減が売上の増減と一致しないからです。今日は実例を使いながら、利益が最大になるポイントをどのように探すか、考えてみましょう。

では、まず元になるデータを確認してください。

ある会社の1月から8月までの販売データです。それぞれの月の販売数量、単価(1個あたりいくらで売ったか)、かかったコストを一覧にしたものです。

この表を眺めていても、どこに利益が最大化するポイントがあるのか、さっぱり分かりません。そこで、まずは関数を使って状況を把握してみましょう。

エクセルをフル活用する(1)

エクセルには2つの変数の間の関係式を求める機能があります。それを使って、まず販売数量$${(x)}$$と単価$${(U)}$$との関係式を調べます。（エクセルの操作方法について、割愛します。興味のある人はググってみてね）

すると次のようなグラフと関係式が得られました。

$${R^2}$$の値はデータが得られた関係式とどの程度近似しているかを示しています。$${R^2=1}$$はデータと関係式が完全一致した状態です。上のグラフの0.997はかなり高い数値です。確かに点がほぼ一直線に並んでいます。

エクセルが求められるのは一次関数だけではありません。当然、データは一定の割合で変化するとは限らず、増減することもあります。指定をすれば、二次関数、三次関数などの式を求めることもできます。試しに同じデータを二次関数で表現したら、どうなるか試してみましょう。

なんと、先ほどよりも$${R^2}$$の値が高くなっています。二次関数の方がより状況を正しく表現できるということです。ただし、この後の計算を楽にするために、ここでは一次関数の関係式を採用することにしましょう。さらに係数の有効数字を2ケタにまるめ、$${U(x)＝-2.4x＋1600}$$とします。(ビジネスでは経済簡便性という考えも重要なのです！)

エクセルをフル活用する(2)

では、次は販売数量$${(x)}$$とコスト$${(C)}$$の関係式を調べてみましょう。まずは一次関数で表現してみます。

0.9672は決して低い数値ではありませんが、点のバラつきが少々気になります。では二次関数を使ったらどうなるでしょうか。

見事に$${R^2=1}$$となりました。今度はこちら二次関数の関係式を採用します。こちらも係数の有効数字を2ケタとし、$${C(x)＝x^2＋20x＋80000}$$とします。

利益が最大化する販売数量は？

いよいよ、つくった2式を使って、利益が最大化する販売数量を求めます。次のように考えればいいですね。

$${P(x)＝x・U(x)－C(x)}$$　※利益＝単価×販売個数－コスト
$${P(x)＝x(－2.4x＋1600)－(x^2＋20x＋80000)}$$
　　$${＝－1.4x＋1580x－80000}$$

ちなみに$${U(x)}$$を一次式としたのは$${P(x)}$$を二次関数にするためでした。

あとは頂点の座標を求めるだけです。平方完成の計算はちょっと大変そうなので、微分を使いましょう。

$${P’(x)＝－2.8x＋1580＝0}$$
よって、$${x≒564}$$

この値を超えて販売した場合、利益が低下していきます。ある点から先は、利益が出なくなります。（では、そのある点とは販売個数が何個のときでしょう？　皆さん、考えてみてください。）

データを眺めていただけでは分からない、こうした現象を数学が可視化してくれるのです。

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