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数学こぼれ話#23 対話シリーズvol.5 ~数学的帰納法で全チェック~ 

皆さん、こんにちは。Y-SAPIX数学科がお届けする対話シリーズ、第5弾のテーマは「数学的帰納法」です。「ドミノ倒し」に例えて説明されることもありますが、どうしても「循環論法」に見えてしまう人が続出しがちな内容です。Y太とS子の会話を聞いて、数学的帰納法の「かんどころ」を掴みましょう!


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Y太:最近、数学で「〇〇を示せ」みたいな問題を解くことが増えてきた気がする。今さらだけど、「証明する」って何なんだろう?
S子:上手く言えないけど、「あらゆる指摘に耐えられる、何らかのチェック装置を用意する」みたいなイメージはあるかな。数学なので、そのチェック装置は「論理」に基づいて作られていて。

Y太:「$${n=2}$$のときはOK?→論理(電流)が流れるからOK」「$${n=10}$$のときはOK?→論理(電流)が流れるからOK」…みたいに、気が済むまで何度チェックしても決して壊れない感じの。チェック装置といえば、この前の授業で数学的帰納法を習ったときに、先生が「これはチェック装置です」みたいなことを強調してたけど、イマイチしっくり来てないんだよね。恐れずに言うなら「いやいや、循環論法では?」くらいの気持ちもある。
S子:「$${n=k}$$($${k}$$は自然数)のときに成り立つ」「但し$${k}$$は何でもよい」だけ抜き出すと、かなり循環論法に見えるよね。1,2,3,4,…のときに成り立つなら、2,3,4,5,…のときに成り立つのは当たり前でしょと思えてしまう。

Y太:…なんだか「よく理解している」という感じがするなぁ。数学的帰納法について、指導願います!
S子:前に大学生の姉から聞いた内容の受け売りでよければいくらでも!
 

S子:まず、「数学的に正しい主張」とは「あらゆる指摘に切り返せる主張」ということで良いかな。何か1つでも切り返せない指摘があったら、その場で主張を撤回しなければならない。例えば、広場にいるY太が大衆の前に立って、「全ての自然数$${n}$$に対し、$${\gdef\bar#1{#1^3} \bar{n}-n}$$は6の倍数である!」(*)と言い張ったとします。
Y太:相当、異常な人だけどね…。大衆からは色々な指摘が飛んでくるだろうなぁ。中には「$${n=5000000}$$のときは大丈夫なんですか?」みたいな、とても計算したくないような$${n}$$で指摘してくる人がいるかもしれない。

S子:桁数もそうだけど、自然数$${n}$$はいくらでもあるから、1つ1つの質問に答えていてもキリが無いんだよね。そこで証明ですよ、証明をしましょう。もし次の2つが言えたら、大衆を鎮めることができると思わない?


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Y太:主張(*)を書いたプラカードの真横に、①と②の証明を書いた看板も立てておく、というイメージで良い?
S子:そうそう、そんな感じで。これさえ用意しておけば、万事解決なんだよね。例えば「$${n=100}$$のときに、$${\gdef\bar#1{#1^3} \bar{n}-n}$$は6の倍数?」と指摘されたら、こちらからは次のように答えれば、それで終わり。
 
「①から、$${n=1}$$はOK。ここに②を使えば計算不要で$${n=2}$$はOK。ここに②を使えば、…ということを、後98回繰り返せばn=100でも確実にOK。」


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Y太:$${n=5000000}$$のときは、「まず①を確認。そこに②を4999999回使えば確認完了。」と言えてしまうのか。数学的帰納法、凄いなぁ…。もはや循環論法っぽさは全く感じないし、確かにこれは先生の言う通り「チェック装置」だ! せっかくなので、②の証明は自分の方で書いてみたよ。この内容で大丈夫かな。

S子:大丈夫だと思います。数学的帰納法、完全理解!

それでは、次の「対話シリーズ」で再びお会いしましょう!


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