皆さん、こんにちは。Y-SAPIX数学科がお届けする対話シリーズ、第4弾のテーマは「線形計画法」です。この分野でよく見られる、値の範囲を求めるために「$${=k}$$」とおいて図形を考える…という定番の流れを、「お決まりの儀式」で片づけていませんか？ 2人の会話を通じて、ワンランク上の理解を目指してみましょう。

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Y太：「理由は分からないけど、なんか解けること」ってあるよね。
S子：それって、解けてることにならないような…。
Y太：手厳しいなぁ(笑)　例えば「実数$${x,y}$$が$${\gdef\bar#1{#1^2} \bar{x}＋\gdef\bar#1{#1^2} \bar{y}＝1}$$を満たすとき、$${2x＋y}$$の値の範囲を求めよ」みたいな問題では、とりあえず「$${2x＋y＝k}$$」とおいて、直線$${y＝－2x＋k}$$と円$${\gdef\bar#1{#1^2} \bar{x}＋\gdef\bar#1{#1^2} \bar{y}＝1}$$が共有点をもつような$${k}$$の範囲を求めればよい、というのがあるけど。
S子：典型問題！
Y太：この方法って、どことなく「押し付けられてる感」が強くない？
S子：言われてみると、なんでこの方法で$${2x＋y}$$の範囲が求まるんだろう…。そもそも、数式の話なのに、直線と円をいきなり考え始めるのは一体どういう…。
Y太：ようこそ、「こちら側の悩み」へ。

～後日、教室にて～

Y太：昨日の疑問を先生にぶつけたら、「なかなか鋭いですね。2つの問いを出すので、これをヒントに考えてみましょう。」とのこと。

問1：$${2x＋y}$$が値3をとることはあるか？ 理由を付けて答えよ。
問2：$${2x＋y}$$が値2をとることはあるか？ 理由を付けて答えよ。

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S子：問1だけど、これはNO。なぜなら、$${\begin{cases}2x＋y＝3\\\gdef\bar#1{#1^2} \bar{x}＋\gdef\bar#1{#1^2} \bar{y}＝1\end{cases}}$$が実数解$${(x，y)}$$をもたないから。

問2は、$${\begin{cases}2x＋y＝2\\\gdef\bar#1{#1^2} \bar{x}＋\gdef\bar#1{#1^2} \bar{y}＝1\end{cases}}$$が実数解$${(x，y)＝(1，0)，(\dfrac{3}{5}，\dfrac{4}{5})}$$をもつので、YES。

Y太：なんとなく、「$${2x＋y}$$がとれる値」の正体が浮かび上がってきたような。つまり、$${\begin{cases}2x＋y＝k\\\gdef\bar#1{#1^2} \bar{x}＋\gdef\bar#1{#1^2} \bar{y}＝1\end{cases}}$$が実数解$${(x，y)}$$をもつような$${k}$$というのが、「とれる値」なんだ！
S子：ところで、「$${2x＋y＝k}$$」を満たす点の集まりは直線、「$${\gdef\bar#1{#1^2} \bar{x}＋\gdef\bar#1{#1^2} \bar{y}＝1}$$」を満たす点の集まりは円だから、実数解$${(x，y)}$$があるとすれば、それは直線と円の共有点と一致するね。
Y太：「実数解があるか？」という問題が、「直線と円は共有点をもつか？」という問いに書き換えられるのかぁ。そもそも「図形と方程式」って、そういう単元だった。
S子：今までの流れをまとめると、＜図＞のようになるね。

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Y太：言い換えを2つも挟んでるのなら、道理で「飛躍してる」と感じるわけだよ。「とれる値」の定義に関わる①と違って、「数式の問題」を「図形の問題」に言い換えている②は、別に必須というわけではないね。つまり、「$${＝k}$$」とおいて直線と円を考えるというのは、実は義務ではなかった…。
S子：今までは答えが出るだけで満足していたタイプの問題だけど、かなり視界がクリアになった感じ。
Y太：「解ける」から「分かる」へ！

それでは、次の「対話シリーズ」で再びお会いしましょう！

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