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数学こぼれ話#27~東大数学をクリアに捉える~

皆さん、こんにちは。今年度もY-SAPIX数学科をよろしくお願いします。
さて、「数学の学習では基礎が大切」とよく言われますが、これだけではあまりにも抽象的でよく分かりません。何ごとも最初が肝心ですので、今回は入試問題を使いながら、「集合と命題」の基礎事項を眺めてみようと思います。「基礎の重要性」がよく分かっていただけると思います。


〇定義をしっかりと

数学を学習していると、「条件」という言葉がよく出てきます。大変よく出てくる言葉なので、その意味が曖昧になっている生徒が少なくありません。授業中に「『$${x}$$の条件』とは何ですか?」と質問されたとして、あなたはどう答えますか?

ひとつの正解は「$${x}$$に何か(数字など)を与えるごとに真/偽が定まる文や式」です。例えば「$${x+1=3}$$」というのは「数$${x+1}$$は数3に等しい」という文章ですので、$${x=2}$$とすれば真で、$${x=1}$$とすれば偽です。他の数字で試しても同様なので、「$${x+1=3}$$」は「$${x}$$の条件」であると分かります。見方を変えると、「$${x}$$の条件」とは、「本来は何でもよい$${x}$$について、何らかの制限を加えるもの」と考えることもできます。

〇入試問題を解析する

「『$${x+1=3}$$』は$${x}$$の条件である」と言われても、定義をしっかり押さえることの良さを実感するには少し簡単すぎます。こういった「基礎」の部分は、一見するとよく分からない状況でこそ、強力なガイドラインになるのです。このことを具体的に見るために、1996年の東大入試を引用してみます。

《出典:東京大学・1996年・前期・理科・第2問》
※注:解説内容は東大が作成・推奨したものではなく ,Y-SAPIX数学科独自のものです。

パッと見ただけで文字が$${a,b,c,d,s,t,x}$$と7種類も登場しているので、授業でノーヒントの演習をすると、大抵の生徒は手が止まります。その原因は、やはり「条件」というものをしっかり理解できていないことにあります。どんな問題でもそうですが、手を動かす前に問題文をよく見て、どんな作りをしているかを眺めましょう。上に掲げた問題文には、2~3個の「条件」が隠れているのですが、見抜けますか?

実際の作りは、次のようになっています。(「ことを示せ。」の部分は省略しました)復習すると、「$${a,b,c,d}$$の条件」とは「$${a,b,c,d}$$に数字を与えるごとに真/偽が定まる文や式」のことです。

②は、$${a,b,c,d}$$を与えるごとに「不等式を同時に満たす正の数$${s,t}$$」があるかどうかは決まるので、「$${a,b,c,d}$$の条件」と分かります。つまり、一見すると長く複雑な文章で書かれているものの、(上手く言い換えれば$${s,t}$$は消えてしまって)「$${a,b,c,d}$$の式」で書けるはずです。

また④も、$${a,b,c,d}$$を与えるごとに「$${-1<x<1}$$での異なる2実数解」をもつかどうかは決まるので、やはり「$${a,b,c,d}$$の条件」と分かり、(上手く言い換えれば$${x}$$は消えてしまって) 「$${a,b,c,d}$$の式」で書けるはずです。

ちなみに、③は「(もし)$${p}$$ならば(必ず)$${q}$$」での「ならば」と同じです。そして①は、数学的には②と一緒にしてもしなくてもよいのですが、ここでは「前提」として外側に置いておくことにします。②と④を具体的に言い換えていく過程は省略しますが、ここまでをふまえて少しニュアンスを付け加えれば、結局は「次のことを確認してください」と言われているだけだと分かります。

要は、「波線部分にある7つの情報だけを駆使して、二重線部分にある4つの情報を導いてください」(*)と言われているのです。「それなら、最初からそう言ってくれればいいのに!」と言いたくなるかもしれませんが、「条件」というものをよく理解している人にとっては、およそ(*)のようなことが要求されているということが、問題文を見た瞬間に分かるのです。解きやすさという意味で、圧倒的に有利なスタートを切れているわけです。

「基礎をしっかり押さえることで視界がクリアになる」ということが、伝わったことと思います。

新年度が始まる季節。既に学習した単元だとしても、基礎の基礎ほど慎重に見直しておく必要があります。

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