2024年度（令和6年度）の大阪大学（前期）の数学（理系）について、現役生対象の大学受験塾Y-SAPIXが徹底分析しました。

〇概評

易化傾向が続いていた大阪大の理系数学ですが、昨年度からの難化傾向は今年度も継続しており、計算力・論証力・思考力ともに高いレベルが要求される問題セットでした。昨年度は微積分の出題が1題のみでしたが、今年度は2題出題されており、例年の傾向に戻りました。図形分野から2題出題されているのは、昨年度と同様です。

第1問

方程式の実数解に関する極限の問題でした。(1)は関数の増減から実数解の存在について調べる内容で、数学Ⅲの頻出問題です。本問は(2)を解決できたかどうかで大きく出来不出来が分かれます。具体的に$${n}$$の式で表すことが困難な実数解を$${n}$$の式で上下から評価すること自体は典型的な流れですが、上からの評価を得るところに発想の壁があります。与えられた関数のグラフは指数関数と三角関数を組み合わせたものですが、各々の関数が持つ振る舞いを深く理解できていれば、$${n}$$が大きい時に実数解が0に収束することを想像するのは、さほど難しくありません。この考察を手がかりにすれば、「上からの評価」が持つべき形をイメージしやすくなります。本問に限らず、与えられた状況設定(この場合は関数)をよく観察してから解く姿勢を大切にしましょう。本問の難易度は「標準」です。

第2問

与えられた条件を満たす複素数$${α}$$と$${β}$$を求める複素数平面の問題です。条件内の絶対値には$${α}$$と$${β}$$の両方が含まれており、見慣れない形に戸惑った受験生も多いと思われます。複数の変数(今回は$${α}$$と$${β}$$が互いに独立に動く場合は、「一方を固定して他方を動かす→固定していたものを後から動かす」という順序で考えていくのが典型的です。東大でよく問われるこのような動的状況の処理は、慣れている受験生とそうでない受験生で大きな差が付きやすい部分です。なお、同じような考え方をする問題が今年度、京都大(理系)の第2問でも出題されました。関連する内容は、Y-SAPIXのサイトでも扱われています。本問の難易度は「やや難」です。

第3問

ねじれの位置についての論証問題です。「ねじれの位置」も、今年度の京都大(理系)の第3問で出題されています。中学の時点で習う概念ではありますが、問題として正面から出題されることはほとんどありませんので、意表を突かれた受験生が多数であったと思われます。実際のところは「ねじれの位置」の定義をベクトルで書き下すだけですので、方針を立てることはあまり難しくありません。むしろ、多数の文字が現れる証明を遂行する計算力で差が付くタイプの大問です。時間内に完答することは難しく、総合的に考えると本問は「やや難」と言えるでしょう。

第4問

回転体の体積についての数学Ⅲの出題です。回転体の求積としては典型的な内容ですので、十分な演習を積んでいた受験生にとっては取り組みやすい大問であったと考えられます。(2)の答えはかなり複雑な値ですが、「大阪大であればあり得ること」と割り切りたいところです。本問の難易度は「標準」です。

第5問

整数範囲からの出題でした。本問の$${f(n)}$$は「オイラーの$${φ}$$関数」と呼ばれるものです。(1)は、3種類の素因数からなる$${n}$$に対する$${f(n)}$$の値が問われていますが、1種類の素因数からなる$${n}$$に対する$${f(n)}$$の表式が分かれば、方針を立てやすいはずです。(2)は、(1)の結果を使って調べることさえ分かれば、後は異なる素因数の種類がいくつなのかで場合分けしながら進めるだけです。自然数$${n}$$に対して$${n-1}$$と$${n}$$が互いに素であることが前提知識として要求されており、整数に対する幅広い理解が問われる出題でした。総合的に考えると、本問は「やや難」と言えます。なお、数学Aの整数分野は来年度以降の新課程入試では範囲外になりますが、素因数分解から読み取れる事柄など、中学範囲に含まれる整数の内容であれば出題される可能性があるので注意しましょう。

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