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2023年度 東京医科歯科大学(医)・数学

〇概評

分量・難易度ともに、医科歯科大の数学としては昨年よりも取り組みやすくなりました。しかし、依然としてレベルの高い出題が続いています。
目新しい題材を長めの文章で読解させる第1問、比較的取り組みやすい微積分が出題される第3問は、例年の傾向通りです。

また、医科歯科大の頻出分野である「空間座標」が一昨年ぶりに第2問で出題されました。全体として、非常に医科歯科大らしいセットでした。

比較的取り組みやすい第2問と第3問に注力し、残りの時間を第1問に費やすという戦略をとることができれば、合格点に到達することはさほど難しくないでしょう。いずれにしても、医科歯科大を目指す受験生にとって、入念な過去問研究が必須です。

第1問

格子折れ線についての問題で、簡単に言うと「一筆書き」についての問題です。長いリード文は丁寧な説明が行われているだけであり、過去問研究をしっかり行っていた受験生であれば、十分に対応できたでしょう。

(1)(2)は具体的な$${n}$$に対する「実験」であり、描くべき図は多いものの、しっかり得点したいところです。同時に、これらは(3)を考え進めるためのヒントにもなっています。

(3)は、両端点の$${x}$$座標の差が$${n-2}$$であることから、始めと終わりの$${x}$$座標は$${(0,n-2),(1,n-1),(2,n)}$$に限られるため、後は各パターンにつき、経路が2通りであることを確かめます。

(4)は(3)の設問文をヒントに、始めと終わりの$${x}$$座標の差が$${k(0≦k≦n)}$$である経路数を一般的な形で求め、最後に$${k}$$について足し合わせます。


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第2問

$${xyz}$$空間内における点列の問題です。2つの平面π1,π2によって点を決めること、$${k}$$の偶奇に応じて次の点を決めるためのルールが切り替わることが目新しいと言えます。

しかし、点を決める(1)(2)では、平面の方程式と法線ベクトルを使った計算を、$${k}$$の偶奇で場合分けしながら二度繰り返すだけです。

一見すると取っ付きづらそうですが、空間座標を取り扱うための土台がしっかりしている受験生にとっては、案外スムーズに解き進められる設問です。裏を返すと、医科歯科大を目指す受験生にとって、「空間座標」を高いレベルで習得することは必須であると言えます。

さて、 (3)は$${k}$$の偶奇で場合分けしながら$${x_k,y_k,z_k}$$を求めます。こちらは、確率漸化式で登場するような連立漸化式の取り扱いを十分に訓練できているかどうかで差が付いたと考えられます。

第3問

定積分が満たす等式(微分方程式)についての問題です。
(3)はおまけであり、実質的には(1)(2)のみの問いです。

(1)は(定数)/($${u}$$の2次式)の定積分なので、定石通り被積分関数を部分分数分解すれば容易に解決します。

(2)は$${a,b,p}$$を含む連立方程式を解きます。連立方程式を解くときは、「式の形が持つ特徴」に注目しながら方針を選ぶことが鉄則です。今回は、3式とも分子に$${ap}$$が現れること、$${b}$$だけが指数部分に入っていることに注目しながら、手際良く処理したいところです。

まずは、$${b}$$だけを未知数とする方程式を作ることを目指しましょう。計算量が多いため「易しい問題」とは言いがたいですが、今回のセットでは最も手を付けやすい問題です。確実に合格点へ到達するために、まずは第3問で手がたく得点を積み重ねましょう。


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