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2023年度 東京大学・数学

〇理科

全体的な難易度は昨年度と同様です。前半は取り組みやすい問題が多く、手がたく得点する姿勢が求められます。なお、微積分(数Ⅲ)が2題、空間図形が2題ずつ出題されました。

第1問

定積分と極限についての問題です。取り組みやすいことが多い第1問ですが、本問は易しくはないので、焦った受験生が多そうです。
(1)は、置換積分を用いて積分区間から√を無くせば、見通しが立ちやすいはずです。
(2)は、区分求積法とはさみうちの原理を組み合わせれば簡単に解決します。

第2問

取り出した玉が隣り合わない確率についての問題です。玉を区別するかどうかで、計算量に差が出ます。
(1)(2)とも標準的な問題ですが、特に(2)を本番の緊張感の中で解き切るのは容易ではないでしょう。

第3問

円と放物線についての問題です。
(1)は、円と放物線が接する状況が想像されますが、このような状況を「図」で扱うのは見落としが出やすく危険です。数式を使いながら、着実に処理しましょう。
(2)は、放物線が切り取る接線の長さについての問題です。$${θ}$$を使って接点を設定すると扱いやすいですが、解き切るためには数Ⅱの微分法に関する深い理解と高い計算力が必要です。

第4問

空間座標についての問題です。
(1)(2)は基本問題なので、完答必須です。
(3)の突破口は、「(1)で求めたものは、実は法線ベクトルである」と気付くことにあります。(1)(2)のような易しい小問には、(3)のような難問を解決するための「重要なメッセージ」が隠れていることが多いです。
設問全体を眺めながら、出題者の意図を汲み取る目を養うことも大切です。

第5問

多項式の割り算についての問題です。
(1)は二項定理などを用いればよく、確実に取りましょう。
(2)は、(1)の意図を汲み取れば、ある多項式の49乗と元の多項式は、ある3次式で割った余りが等しくなることに気付けるでしょう。a,bが求まるところまで議論を進めるには「多項式の割り算」に関する深い理解が必要となり、やや難と言えるでしょう。 

第6問

線分や折れ線分の通過領域についての問題です。今回のセットでは最も難しく、撤退した受験生が多いでしょう。
(1)の体積は、空間図形を描いて図形的に求めるのが現実的と言えるでしょう。
(2)の体積は、折れ線分を考えることによって新たに増える領域について考察することがポイントです。時間度外視でじっくり考えると、良い勉強になると思います。


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〇文科

全体的に、昨年度よりも易しい出題でした。東大文科では対称式や絶対値の処理が頻出なので、過去問演習を十分に行い、慣れておきましょう。なお、空間図形の出題は2001年以来です。

第1問

解と係数の関係・対称式についての問題です。最後に相加・相乗平均の関係を用いることを含め、東大文科の頻出問題と言えます。

第2問

定積分を含む関数についての問題です。絶対値付きの定積分を計算した後、微分法を使って3次関数の最大値と最小値を求めます。
方針で躓くことはあまり無いでしょうから、着実に処理を遂行する計算力の有無で差が付くでしょう。

第3問

理系の2と共通です。

第4問

対称性のある四面体の体積についての問題です。2001年と似たような出題ですので、この年度まで遡って過去問演習をした受験生にとっては、間違いなく有利な出題でした。

〇東大数学に向けて

とりわけ理科数学の厳しさは「150分で6題」という時間制限にあります。1題の難易度も高いので、全てを解き切ることは極めて困難と言えます。したがって、「確実に解ける問題を見極める力」や「完答できなくても途中をしっかり取る力」が必須と言えます。それと同時に、合格点を取るには「思考力を要する問題と戦う力」を養うことも重要です。様々な解法を吸収するつもりで普段の問題と向き合いながら、知識・理解・経験を深めていくことが肝心です。また、実際の過去問や、東大入試プレなどの東大模試を研究することも大変有効です。


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