今回のテーマは「ベクトルの内積」です。図形を深く調べるために欠かせない演算ですが

$${\overrightarrow{OA}}$$$${\cdot}$$$${\overrightarrow{OB}}$$$${=}$$$${\mid}$$$${\overrightarrow{OA}}$$$${\mid}$$$${\mid}$$$${\overrightarrow{OB}}$$$${\mid}$$$${cosθ}$$

という定義を初めて見ると、どうしても唐突な印象を抱いてしまいます。「なぜ、新しい演算を用意するのか」「なぜ、大きさの積×$${cosθ}$$なのか」の2点に注目しながら、内積という演算に慣れ親しんでいきましょう。

〇なぜ内積を考えるのか？

高校数学でベクトルを学習する大きな目的の1つに「図形を扱える道具を増やしたい」というものがあります。

例えば、「$${OA=6}$$，$${OB=5}$$，$${∠AOB=60°}$$の$${△OAB}$$があるとき，$${AB}$$を$${2：3}$$に内分する点を$${C}$$として，$${OC}$$の長さを求める」という問題を考えます。

三角比や座標など様々な扱い方が考えられますが、「平面ベクトル」を使って、次のように進めることができます。

点線部分を計算するためには、ベクトルの和・差・実数倍だけでは上手くいきません。そこで

「2つのベクトルから1つの実数(スカラー)を作る新しい演算」

が新たに考え出されました。これが、「ベクトルの内積」です。

長さを計算できなければ面積や体積へ進むことができませんので、ベクトルをより便利な道具とするには、このステップが欠かせません。

〇なぜcosθ？

「演算を定める」と言うとずいぶん難しく聞こえそうですが、基本的には自由です。極端な話、ベクトルの内積を次のように定義しようとも、それは各人の自由というものです。

「$${\overrightarrow{OA}}$$$${\cdot}$$$${\overrightarrow{OB}}$$=$${\mid}$$$${\overrightarrow{OA}}$$$${\mid}$$$${\mid}$$$${\overrightarrow{OB}}$$$${\mid}$$」

「$${\overrightarrow{OA}}$$$${\cdot}$$$${\overrightarrow{OB}}$$=$${\mid}$$$${\overrightarrow{OA}}$$$${\mid}$$$${\mid}$$$${\overrightarrow{OB}}$$$${\mid}$$$${sinθ}$$」など　（※）

では、なぜ「大きさの積×$${cosθ}$$」で定めるスタンダードな内積が、今もなお使われ続けているのでしょうか？ いくつかの理由が考えられますが、ここでは理由の1つとして

文字式の計算と同じように計算したいから

ということを挙げたいと思います。ベクトルの授業でよく言うのですが、「内積を使いこなすためだけの『特別な計算ドリル』には、あまり取り組みたくないですよね」というわけです。

さて、皆さんがよく慣れている文字式の計算は、次のようなルール達に支えられています。(※本当は他にもあります)

$${a}$$$${\cdot}$$$${b=b}$$$${\cdot}$$$${a}$$　　（交換法則）
$${(ka)}$$$${\cdot}$$$${b=a}$$$${\cdot}$$$${(kb)=k(a}$$$${\cdot}$$$${b)}$$　　（結合法則）
$${a}$$$${\cdot}$$$${(b+c)=a}$$$${\cdot}$$$${b+a}$$$${\cdot}$$$${c}$$　　（分配法則）

このうち、特に「分配法則」にあたる

$${\overrightarrow{a}}$$$${\cdot}$$$${(}$$$${\overrightarrow{b}}$$$${+}$$$${\overrightarrow{c}}$$$${)=}$$$${\overrightarrow{a}}$$$${\cdot}$$$${\overrightarrow{b}}$$$${+}$$$${\overrightarrow{a}}$$$${\cdot}$$$${\overrightarrow{c}}$$

は、内積を(※)のように定めてしまうと成り立ちません。単なる「大きさの積」で終わらせず、更に$${sinθ}$$でも$${tanθ}$$でもなく「$${cosθ}$$」をかけることに決めて、ようやく実現するのです。こうして定まった内積の性質を活用すれば、最初の問題は次のように解決できます。

$${\mid}$$$${\overrightarrow{OA}}$$$${\mid}$$$${=6}$$，$${\mid}$$$${\overrightarrow{OB}}$$$${\mid}$$$${=5}$$より

$${\overrightarrow{OA}}$$$${\cdot}$$$${\overrightarrow{OB}}$$=$${\mid}$$$${\overrightarrow{OA}}$$$${\mid}$$$${\mid}$$$${\overrightarrow{OB}}$$$${\mid}$$$${cos60°=15}$$

なので

$${\mid}$$$${3}$$$${\overrightarrow{OA}}$$$${+2}$$$${\overrightarrow{OB}}$$$${\mid}$$$${^2}$$
$${=(}$$$${3}$$$${\overrightarrow{OA}}$$$${+2}$$$${\overrightarrow{OB}}$$$${)}$$$${\cdot}$$$${(}$$$${3}$$$${\overrightarrow{OA}}$$$${+2}$$$${\overrightarrow{OB}}$$$${)}$$
$${=9}$$$${\mid}$$$${\overrightarrow{OA}}$$$${\mid}$$$${^2}$$$${+12}$$$${\overrightarrow{OA}}$$$${\cdot}$$$${\overrightarrow{OB}}$$$${+4}$$$${\mid}$$$${\overrightarrow{OB}}$$$${\mid}$$$${^2}$$
$${=604}$$
$${\mid}$$$${3}$$$${\overrightarrow{OA}}$$$${+2}$$$${\overrightarrow{OB}}$$$${\mid}$$$${\geqq}$$$${0}$$より

$${\mid}$$$${3}$$$${\overrightarrow{OA}}$$$${+2}$$$${\overrightarrow{OB}}$$$${\mid}$$$${=2}$$$${\sqrt{151}}$$

なので

$${OC=}$$$${\mid}$$$${\overrightarrow{OC}}$$$${\mid}$$$${=}$$$${\dfrac{2\sqrt{151}}{5}}$$　$${\cdots}$$（答）

ベクトル以外の方法で解こうとすると、いかにも計算が大変そうな数値です。「平面図形も立体図形も同じような感覚で立式できる」という強みを持つベクトル同士に「内積」を定めたことで、ベクトルをより便利な道具とすることができました。さまざまな問題を通じて、その威力を実感しながら勉強してほしいと思います。

それでは、次回の記事でお会いしましょう！