2024年度（令和6年度）の東京大学（前期）の数学について、現役生対象の大学受験塾Y-SAPIXが徹底分析しました。

〇理科

全体的には昨年度よりも取り組みやすいセットでした。昨年度は「大問の前半をしっかり得点して部分点を積み重ねる」という戦略が有効なセットでしたが、今年度は「注力すべき大問を的確に判断して着実に成果を出す」という戦略が有効なセットでした。「注力すべき大問」として、大問2・大問4・大問5を見抜けた受験生は少なくないはずですので、これらの大問を確実に解き進められたかどうかで、最終的な得点差が大きく開く試験でした。全体的に「やや易化」と言ってよいものの、試験で求められる姿勢が昨年度とは異なっていることには注意しなければなりません。

第1問は、座標空間内で点がとりうる範囲についての問題です。「$${xy}$$平面による直円錐の切断」を背景とする問題ですが、このことに気付いても格段に解きやすくなるわけではありません。角度と座標が与えられていることから「内積」を想像し、$${cos}$$の範囲から$${x}$$と$${y}$$の不等式を素直に導きましょう。その後は2乗を含む式変形が続くため、同値性が崩れないよう注意しなければなりません。難易度は「やや易」と言えますが、同値性の問題があるので、完答はそう簡単ではありません。

第2問は、絶対値を含む定積分についての問題です。「絶対値を含む定積分」は東大の頻出分野ですので、十分に練習しておきましょう。本問は(1)と(2)を完答して(3)の積分計算を着実に進められれば理想的ですが、定積分の式を上手く解きほぐすことができた受験生とそうでない受験生で大きな差が付いたと思われます。その意味で、難易度は「標準」と言えます。

第3問は、座標平面内を動く点の確率についての問題です。(1)は図示するだけですので絶対に落とせません。(2)をどう示すか悩んだ受験生が多いと思いますが、漸化式を用いると比較的楽に示すことができます。いわゆる「確率漸化式」も東大の頻出分野ですので、十分に訓練しておきたいところです。(3)を手際よく進めるには、(2)の結果から「確率変数の設定は4つでよい」ということを読み取る必要があります。設問ごとを分断して捉えるのではなく、大問全体の流れを把握しましょう。難易度は「標準」と言えます。

第4問は、放物線と円についての問題です。典型的な問題ですが、途中で6次式が出るなど計算量が多いので、差が付きやすい大問です。手を付けやすいものの完答のハードルはそれなりに高いため、難易度は「標準」と言えます。

第5問は、三角形を1回転させてできる立体の体積を求める問題です。「見覚えのある問題」ですので、真っ先に解いた受験生が多かったと思われます。$${x}$$軸と垂直な平面で切断し、平面内で線分を回転させて得られる円環の面積を求める典型手法で扱えば問題ありません。平面の位置を場合分けするとき、「三角形の頂点」に注目するか「下ろした垂線の足」に注目するかで途中過程が大きく異なります。特に前者の場合は$${0≦x≦1/3}$$と$${1/3≦x≦1/2}$$の場合分けを見落とす可能性がありますが、「場合分けの境界で断面積の値が一致するかを確認する」という基本方針を思い出せば、途中でリカバリーすることができます。結果的に見た目ほど易しい大問ではなく、出来不出来で得点差が大きく開いたと考えられます。その意味で、難易度は「標準」と言えるでしょう。

第6問は、多項式と素数の関係についての問題です。簡単に解ける(1)は(2)に向けた絶妙なヒントになっており、(1)をどのように解くかで(2)の解きやすさが大きく変わるので油断できません。(2)は「$${n}$$は高々3個」という結論を念頭に、大きく4パターンに分けられる状況がどの程度両立し得るのか、その可能性を潰す方向で考えますが、処理の仕方は様々です。今回のセットでは最も発想力が問われる大問で、難易度は「やや難」です。

〇文科

易しかった昨年度に比べると全体的に難化し、例年通りの難易度になりました。計算によって議論する大問が多めであり、数学が得意な受験生とそうでない受験生で差が付きやすいセットでした。

第1問は、放物線と円についての問題です。今年度は「放物線と接する円」が様々な大学で出題されており、東大も例外ではありません。(1)は共通接線の計算、(2)は積分を使った面積の計算です。(2)は1/6公式を使って手早く確実に計算しましょう。(3)は(2)で求めた面積が$${\sqrt{\smash[b]{3}}}$$以上であることを示す問題です。2乗して式変形すると6次式が出ますが、$${s^2}$$をひとかたまりで捉えれば実質的には3次式です。なお、(3)は3変数の相加平均・相乗平均の関係を用いて示すこともできますが、こちらは教科書に記載の無い内容ですので、答案での使用には注意が必要です。本問の難易度は「標準」です。

第2問は、指数・対数分野からの出題です。東大文科に限れば、指数・対数に関する出題は1994年度以来であり、特に桁数に関連する出題は1966年以来の出題で、大変珍しいことです。(1)は常用対数を用いればよいですが、$${log2}$$は近似値ではなく不等式で与えられている点には注意しなければなりません。$${log2}$$などの値を不等式によって与える大学は京都大学が筆頭であり、同学の問題を演習したことがある受験生は、やや有利であったと言えます。(2)は、(1)の結果をふまえると明らかに$${m=28}$$では成り立つので、1つ小さな$${m=27}$$で成り立つかを検証することが主になります。左辺が和の形で与えられているので機械的に$${log}$$をとればよいわけではなく、むしろ「数の大小感覚」を手掛かりに議論することが求められ、その意味で難易度は「やや難」です。本問に限らず、問題を解くときは「状況をよく観察すること」を心掛けましょう。

第3問は、座標平面上での図形の問題です。(1)さえ解決すれば(2)(3)は簡単な高次方程式・高次不等式ですので、今回のセットでは差が付きやすい大問でした。(1)は$${tan}$$を使う解法が標準的ですが、平行線を引いたり、正弦定理を用いたりして解くこともできます。図形の場合は「最適な解法」が設定次第で決まることが多いので、普段の学習で図形を扱う際には様々なアプローチを試しながら、それぞれの手法の長所・短所を吟味するようにしましょう。本問の難易度は「標準」です。

第4問は、4点を選んでできる四角形の確率についての問題です。今年度の一橋大(第5問)では「四角形」が「三角形」になったバージョンが出題されています。正$${n}$$角形の頂点から作られる多角形を考察する設定そのものは典型的ですので、類題を何度か経験している受験生は有利になったと思われます。

Y-SAPIXのテキストでは、Grade6数学[文理共通]の春期と11月期で、似た内容を扱っています。本問の難易度は「やや難」です。

■2024年度入試
第13期 在籍者数107名の合格実績

🌸現役合格を果たした先輩からメッセージ(一部)🌸

■東京大学・理科一類
…東大の過去問などの解説も詳細にしてくださり、最大限の学びを得ることができました。また、苦手な箇所、ミスしやすい箇所を把握できたのは、先生方の手厚い添削に起因するものだと確信しています。…

■筑波大学・医学群医学類
…基礎を固めたあとに徐々に応用問題にトライし、着実に学習を完成させていくY-SAPIXのスパイラル式の授業が自分に合っていて、学年が上がるにつれて効果を強く実感しました。…

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